I happen to see this photo on the newly updated English Wikipedia page of Richard Dedekind. It was uploaded by the library of ETH Zürich (A big thank you!). Apparently Dedekind was young when the photo was taken, so it could probably belong to his Zürich time…

1.胡扯 化学的世界很简单，数学的世界很和谐，但是一个人同时思考化学和数学问题的时候，整个世界就既不简单也不和谐了。 两个世界最难以调和的区别是：化学家眼中的世界，必然是颗粒状的、离散的——无论是物质还是能量，而数学家却可以很坦然地接受连续性的存在。奇怪的是，两种截然不同的世界观，居然被一个叫做“微积分”的神器凑合到了一起。化学家们通常会相当无辜且相当自信地说：“微观上看，物质是由不连续的分子和原子组成的，但宏观上看，由于这些微粒极小、分布极密、数量极多，可以认为它们的集体行为是连续的。”所以，用来处理连续函数的微积分，在处理反应速率、能量变化等宏观化学领域居然大显身手，从未失误。 化学系的同学大多可以接受这样的解释。不过，由于我对数学上连续的定义稍有了解，听到“连续”二字时也未免神经紧张一下——化学家眼中的连续性，和真正的连续性相差多远？有什么合法的理由认为分布极密的极小颗粒就是连续的？ 这些都是头脑里偶然迸发的一些疑惑，过几分钟也就忘了，真正催促我抽出时间思考这个问题的，是物理化学教授Bettens的一节课。他讲到分子的各种运动方式所携带的能量，这些能量是量子化的，也就是说，分子只能处于特定的“能级”上，拥有该能级特定的能量。但其中平动能的能级之间的间隔很小，所以可以认为分子的平动是连续的——分子可以处于空间中的任何位置。而转动能的能级间隔较大，所以不能认为分子可以自由转动任何角度——分子的转动是不连续的。 这节课让我清楚地认识到了化学所说的连续和数学上的连续完全不是一回事。显然，平动能和转动能的能级，只是沙子和石头的区别。认为平动能是连续的，一定不是说它本质上和连续性有什么关系，只是因为处理连续事物的方法，比如“能量按自由度均分原理”，在处理平动能时同样好用而已。将对平动能的思考稍作推广，我发现化学界所说的“近似连续”的事物几乎都是这种情况：只是因为这些东西看上去没有空隙，实验又证明微积分好用，所以认为它连续。也就是说，化学家并不从定义出发认识连续性，而是从效果出发。这种认识对在短时间解决具体的化学问题很有帮助，但是未免丧失了严谨。特别是当连续的定义的提出已经有150多年后，化学家仍在用这样简单粗暴的方式理解连续性，而没有对密集的小颗粒在本质上与连续性的关系多加思考，这对我们认识自然界不得不说是一个遗憾。 然而化学家以探究自然界的具体物质为主，数学只是工具，所以本文并非是纠正他们。我的能力也完全不可能给以上的问题提供完美的答案。我就是想在这里整理一下自己到现在为止对连续性的理解，并粗浅地探究一下不同的对连续性的认识之间的关系。   2.物质的连续性 无理数 微积分 应该说，人在相当长的一段时间内，都是把物质的连续性当做天经地义的事，并对之深信不疑的。我知道的最早对物质的连续性的表述，是《庄子》中记载善辩的惠施提出的：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”如果我们不把“万世”理解成一百万年，而是理解成“永远”，也就是比任何时间都长（这应该更接近惠子的本意），那么我们很容易看出，惠子认为物质是可以无限分割的。惠子的思路其实用到了一种很机智的归纳法——一根木棍子，第一天切取一半可以做到；而我们观察发现，每一次切割并不改变棍子的材质，也就是说，每一次切割后，下一次还是可以切。这样，切的过程自然是不会有尽头了。比任何数都大的切割次数，必然导致比任何体积都小的木头块。所以沿着惠子的思路，我们得出，无论在木棍内部取多小的体积，体积中包含的都是和整体性质相同的木头。 不过，切割次数的无限性还不是我们对“连续”的全部直观印象，更重要的一点是切割位置的随意性。继续拿木棍打比方，你想取一半，可以，想取三分之一，也可以，总之想取多少取多少，因为你想切哪里切哪里。其实这个性质可以用惠子的命题证明——我们知道二分法找零点就是把一个区间平分，平分以后找到零点所在的那个小区间，再平分之，由此不断缩小寻找范围，逼近那个零点。如果木棍可以无限平分，那么我们无论想切哪里，都能用足够多次（或者无限多次）“日取其半”找到。切割位置的随意性还有一层意思，即无论在何处的切割都是等价的——木棍可以做到绝对的均匀，不会出现切某处比切另一处更省力的现象。 人从儿童时期开始，对周围很多事物的印象都是那么整整的一大块，如果是液体， 那就是整整的一滩，内部没有空隙、没有间断，切割次数的无限性和切割位置的随意性看上去无可辩驳，这便是人们对连续性的最初印象。还有一些东西，比如一堆米、一排人，不是无限可分，不可以在任意位置切割，否则会丧失这些东西本来的性质，这就是人们对“不连续”的印象。 其实人们是为了描述客观事物而创造了数，比如为了描述不连续的事物而创造了整数。当一尺之棰被抽象成了一条线段，线段便成了连续性的代名词。对准确地描述线段的性质的要求便促使人们创造了实数。起初人们以为用有理数——整数之商，就可以表示线段上的所有位置。只要确定一个零点，并把一个位置确定为“1”，其他的位置都可以用其到零点的位置与1到零点的位置的比值确定，而这些比值，人们猜测，总可以化为整数和整数之比。但是后来有一些机智的人，发现线段上的某些位置不能对应任何有理数，比如到零点的距离为边长为1的正方形的对角线长的点。但是显然这些点和线段上其他的点没有什么区别，为了描述它们，就产生了无理数。所以无理数最初是为描述线段而生的。由于线段象征着连续，有理数和无理数一起创造了一个连续的世界。 从此人们想要研究连续性的时候，都会用到实数。微积分的诞生就是因为一直到17世纪，人们都认定了物质以及有关物质的一些量，如位移，是连续的。为了研究连续变化的量的变化规律，牛顿和莱布尼茨两位大神创造了求导、积分之类的方法，其核心就是由有限量出发逼近无穷小量，再把这些无穷小量都加起来。惊人的是，我所知道的最早提出这种思想的人也是惠子。他说：“无厚，不可积也，其大千里。”也就是没有厚度的平面，按理不能累积成体积，但实际上它们却做到了，而且可以形成方圆千里的庞然大物。为什么这种思想没有发展成数学，是个很有意思的问题，可惜本文不再对之展开。   3.物质的不连续性 现代化学的诞生 无理数危机 虽然说在古代，物质连续的思想占主导地位，但也有一些学说猜测物质是由不可分的微粒构成的。其中很有名的例子是古希腊哲学家德谟克利特的原子学说。据Bettens教授说，他是这样想的：一个东西，总有一定的性质，那么总要有一定的结构来实现这些性质。 一直把它分割下去，总会分到破坏这结构的那一次。如果不承认物质存在结构，只是无穷小的点的积累，那么所有的物质都会长得一样，就不会有多样化的物质世界了。 而在知道德谟克利特的思维方法之前，我也偶然想到过实际物质和数学中的线段的差异：一条线段上的点可以轻松地与比它长的另一条线段上的点建立一一对应的关系，也就是说线段可以任意地拉长，长的线段和短的线段上的点一样多。而实际物质不能任意拉长，长木棍不是由短木棍拉长而形成的，长木棍和短木棍上的点不一样多，这从它们质量的区别就可以看出。当然，想到这些时我已经知道了原子和分子的存在，但我想，物质和线段的这种区别，也许是人们猜测物质微观不可分的证据之一。 然而，以上的这些充其量只是哲学意义上的思考，并没有充分的科学依据。真正的科学依据来自对物质变化的研究，也就是早期的化学。在17世纪到18世纪之交，炼金术士几百年摸爬滚打的经验渐渐呈现出这样一个规律：有的物质可以用各种方法分离成更基本的物质，另一些物质无论用什么方法都不行。化学家Robert Boyle把前者称为化合物，后者称为元素。元素的概念确立起来后，人们从元素的角度研究物质的变化，短时间内发现了一些重要的规律：一种化合物若被分解成元素，元素之间的比例总是固定的；不同元素的反应，或者元素按不同的比例反应，总是形成不同的化合物；化学反应中质量守恒；几种元素生成化合物再分解，一定分解成原来的元素，即元素不会在化学反应中发生变化；如果一个化合物分解成了几种气体元素，这几种气体体积总是满足简单的整数比；有时候即使相同的元素按相同比例反应，也会产生不同的物质……不变的元素、不变的比例、简单的整数比——这一切现象都强烈地暗示着德谟克利特所说的物质内部结构的存在；而相同比例的相同元素产生不同的物质，似乎就只能归因于结构的不同。“对物质的分割不能无限进行，而是到破坏掉元素构成的最小结构单元为止”——这种思想在18世纪后期开始兴盛起来。Dalton和Avogadro假定物质由微小的元素颗粒——原子构成，从这种视角研究物质，发现许多实验现象都能得到完美的解释，从而分别建立了现代原子学说和分子学说。Liebig等人则关注元素组成相同而性质不同物质，猜测其中结构的差异，提出了同分异构体的理论，这就是现代有机化学的基础。 物质的不连续性渐渐地被人们所承认。但这就引发了一个严肃的问题：既然物质是不连续的，数学上所说的连续到底是什么意思？线段被认为是连续的，可是线段这东西，实际上根本就不存在。课本上画的线段只是有限的整数个墨水颗粒的组合，因此我们不能“日取其半，万世不竭”，也不能从中截取任意长度而不破坏这条线段原有的性质。所谓勾股定理，也只是对真实世界的一种近似——画出来的直角三角形，两条直角边上的墨水颗粒数的平方和，约等于斜边墨水颗粒数的平方。连续性似乎只是一种错觉——惠子的归纳法本身存在问题，他认为切一刀木棍，木棍的性质不改变，这只是因为肉眼看不到分子层面的细微改变而已。那么我们为了描述“客观物质的连续性”而创造的无理数，现在看起来没有什么存在的必要了，谁在意根号2个分子是什么东西呢。 其实更重要的是，如果连续性只是人的错觉，那么伟大的微积分的合法性也值得质疑了。   4.Dedekind切割——重构连续性与无理数 我们说自然科学的发展经常启发数学的发展。这就是为什么直到19世纪，数学家才开始真正感到用非几何的方式严谨地定义连续性和无理数的必要。在这以前相当长的时间内，无理数的存在如“两点之间线段最短”一样天经地义，因为物质看上去的连续让人们以为无理数就是客观存在的东西。直到现代化学揭示了物质的不连续性，人们才意识到，连续性和无理数只是人脑产生的主观感觉，引入无理数时只是通过画对角线，是相当不靠谱的。也就是说，只有当大家发现连续性和无理数找不到其客观对应物的时候，才有人真正在意它们到底是什么，并力图让这种感觉生成于严谨的逻辑之上。其实很多东西都是这样，快要失去了才赶紧想它存在的意义。 最后做到这一点的人是Richard Dedekind。其实，从怪异的历史学家的眼光看来，这不是偶然。首先Dedekind早年在不伦瑞克大学攻读的是化学和物理，后来觉得这些自然科学太不严谨，所以转入哥廷根大学捣腾数学。但这段在不伦瑞克的学习经历可以让他充分了解到物质的不连续性和新生的原子、分子学说，这可能是他在后来在数学的研究中，充分认识到不能把连续性建立在几何基础上的部分原因。【其实我只是瞎猜，但我觉得连续性本质的发现与现代化学产生的时间相吻合并不是偶然。】其次就是Dedekind本人的一种类似于强迫症的性格，不把基础搞清楚，整个人都不对了。1872年Dedekind发表《连续性与无理数》，前言中写道： “我发现当时还没有人能脱离几何的帮助理解连续性的时候，感觉很不爽——那你还玩什么微积分。对于我来说，这种不满太强烈，以至于我下定决心要把这个问题想出来，直到我能找到一个纯代数的、非常严谨的无穷小分析的基础为止。…………在1858年11月24日，我成功了……” 其实很神奇的一点是，Dedekind的思路也是我们在第二部分所提出的“切割”。仔细看来，他对连续性的定义正是对“切割位置的任意性和等价性”的严谨表述。现实的一尺之棰是不连续的，Dedekind首先用切割的方式，定义了我们头脑中理想的、连续的“一尺之棰”： “线段的连续性的本质是这样的……如果一条线段上所有的点分成了两部分，使得第一部分的每一个点都位于第二部分的每一个点的左边，那么能找到且只能找到一个点可以制造出这样的分离。这个点要么是第一部分中最右边的点，要么是第二部分中最左边的点，两者必居其一，且仅居其一。” 用这样的定义，现实物质的不连续性就很显然了。比如一根真正的木棍，一把刀下去它分成了两段，我们既能在第一段中找到最右面的那个原子，也能在第二段中找到最左边的原子，不满足“仅居其一”。线段就不一样，如果把一段长度为L的线段平分，并把0.5L处的这个点归于右半段，那么左半段找不到一个最右边的点。 Dedekind由此推广出对数的切割： “如果一些数分成了两部分A1和A2，其中A1中的每一个数a1都比A2中的每一个数a2小，那么称这种分离为一个切割。” 整数在“切割”下的表现和真正的木棍是一样的，总可以找到A1中最大的数和A2中最小的数，因此说它是不连续的。 那么有理数的表现如何？显然每一个有理数q都可以创造出对所有有理数的一个切割，即A1包含所有小于q的有理数，A2包含所有大于等于q的有理数。这样，A1中没有最大的数，而A2中有最小的数，即q。 但是，不是所有对有理数的切割都能被有理数创造出来。比如，如果我们让A1包含所有平方小于2的有理数，A2包含所有平方大于等于2的有理数。因为没有有理数的平方等于2，所以即不能在A1中找到最大的数，也不能在A2中找到最小的数，不满足“必居其一”。 于是无理数不需要几何的帮助，应运而生： “现在，只要我们遇到一个不能由有理数创造出来的对有理数的切割（A1，A2），我们就创造一个新的数，一个无理数α，其定义就是这个切割（A1，A2）本身。 有理数并上无理数便是实数。通过简单的证明就能得知实数具有和线段一样的连续性：实数上的任意一个切割，都由唯一的一个实数产生。…