记得高中一本教辅讲到空间几何时，第一句话就是：“直线是不加定义的直观概念……”
此话说得不好。作为空间几何的基础的直线确实可以不加定义，我们只要默认这个东西存在，并给出它的一些性质即可。我们现在的数学分析课就是这么处理实数的。但是如果不加定义，就不可以说它是直观的——因为我们直觉中的那条直线需要好好地定义，它除了空间几何给出的那些默认的性质，还有连续性。
其实连续性不是一个很容易掌握的东西，我都对自己半年来一直纠结之感到烦躁无比（duang~）。但是每次想这个问题居然都有新发现，也是对自己虽然愚钝却坚持不懈的最好证明。
最小上界性……和连续性
我们的数分教授在第一节课问我们实数是什么，我当时虽然有点概念，但觉得表达不清楚——我不可能用一篇文章来回答一个课堂小问题吧！后来经过一个月左右的不懈学习，一个简洁明了的答案终于清晰起来：实数是具有最小上界性的有序域。
其中“有序”说的是实数可以比大小。“域”说的是实数可以加减乘除。“最小上界性”是什么呢？
首先一个实数集S的“上界”指的是一个实数a，它大于等于S中的任何实数。实数具有最小上界性(Least Upper Bound Property)，说的是
[L]任何一个实数集S，只要它有上界，那么一定有最小的上界。
直觉告诉我，这个“最小上界性”就是连续性。有理数也是有序域，但它是不连续的有序域。一定是最小上界性保证了实数集是连续的。但是当时，我所知道的连续性，看上去和最小上界性一点关系也没有！我记得Dedekind是这样定义连续性(Continuity)的：
[C]如果所有的实数被切成了两部分(A1,A2)，使得A1中的任意数小于A2中的任意数，那么有且只有一个实数α产生这个切割。(“产生”的意思是,存在唯一的实数α，它要么是A1中最大的数，要么是A2中最小的数。）
这两个定义真的有什么关系吗？
直觉告诉我要证明它们是等价的。于是几天前（3月7号）我写下这样一个证明。
[C]→[L]
对于任意一个有上界的实数集S，我们将A2定义为所有S的上界的集合，而将A1定义为所有其他实数。那么对于A1中的任意实数a1，由于它不是S的上界，所以存在x∈S，使得x>a1.然而对于A2中的任意实数a2,由于它是S的上界,所以一定有a2≥x>a1.因此我们确实得到了一个切割(A1,A2),使得A1中的任意数小于A2中的任意数.根据[C],要么A1中存在最大的数α,要么A2中存在最小的数α,两者必居其一且仅居其一.
但是对A1中的任意数a1，都存在x∈S，使得x>a1.那么存在实数a1‘,使得a1<a1′<x，比如最简单的可以让a1’=(x+a1)/2.我们发现a1‘仍然属于A1(因为它不是S的上界),但是比a1大.所以A1中没有最大值.因此A2中存在最小值α.
[L]→[C]
如果所有的实数被切成了两部分(A1,A2)，使得A1中的任意数小于A2中的任意数,那么A1是一个有上界的实数集,因为A2中的所有数都是A1的上界.根据[L],A1有一个最小上界α.如果α∈A1,那么因为α是A1的上界,对任意a1∈A1,α≥a1,所以α是A1中的最大值.如果α∉A1,那么α属于A2,即它是A1的上界,但由于α是A1的最小上界,所以k是A2中的最小值.因此,存在唯一的实数α产生切割(A1,A2).
[PS.下面会讲到这个证明有疏漏……]
证明完毕~
写到这里的时候我便很开心地分析它们的异同了!我认为最小上界性和连续性既然是等价的,那么它们的区别仅在于表述上了。[C]相当于我们对连续性的最直观的感受，而[L]更抽象一点，仅此而已。
当时我想写几个例子说明[C]很直观，自然提到了整数集为什么不连续——考虑一个对所有整数的划分（A1,A2），使得A1中所有数小于A2中所有数，显然A1中有最大值，A2中有最小值，且两者不相等。这就不满足“有且只有一个数产生这个切割”。但是，这时我突然想到，整数集是有最小上界性的！——任何一个整数集，只要有上界，一定有最小上界。这个可以证明，但由于不是本文重点，在此省去。
重点是，最小上界性和连续性不是等价的——我的证明一定有问题。
我首先想到，前面关于两者的等价性的讨论都局限在实数集这个大前提下。当我试图概括地说，最小上界性和连续性区别只在于表述的时候，其实把等价性成立的范围扩大到所有集合了，所以出现了问题。所以我刚才的证明一定用到了一些实数有而整数没有的性质。
回顾刚才对[C]→[L]的证明，其中写道：“存在实数a1‘,使得a1<a1′<x”。我在这里不经意间用到了一条性质——实数的稠密性（density）：
[D]对于任意两个不同的实数a和b，如果a<b，那么存在实数c，使得a<c<b。
整数显然不具有这个性质。
但是奇怪的是，整数有最小上界性而没有连续性，应该说明[L]→[C]，而不是[C]→[L]，需要一些实数有而整数没有的性质.但是我对[L]→[C]的证明没有用到稠密性或者其他整数没有的性质啊！又是一番艰苦的排查，我发现我的[L]→[C]的推导存在一个比较严重的疏漏。我只证明了一定存在的那个最小上界α，要么是A1的最大值，要么是A2的最小值，也就是说，我证明了存在一个产生切割（A1，A2）的实数，但是我没有证明它的唯一性。事实上，如果我们研究的集合不是稠密的，那么就不一定只存在一个了，整数集便是一个例子。我当时证明的时候，误认为最小上界的唯一性直接表明了产生切割的数的唯一性，从而在此造成疏忽。
我们需要利用实数的稠密性，补上如下一段，证明最多只有一个实数可以产生这样的切割。
[L]→[C][补充]
如果有两个不同的实数α，β产生同一个切割（A1，A2），不妨设α＜β。那么只可能α是A1中的最大值，且β是A2中的最小值（因为如果它们同时属于A1或A2，则不可能同时是它的最大值或最小值）。但是由于实数的稠密性，存在实数γ，使得α＜γ＜β。如果γ∈A1，那么α将不是A1中的最大值，如果γ∈A2，则β将不是A2的最小值，无论如何都与假设有矛盾。所以最多存在一个实数产生切割（A1，A2）。
至此我们就可以说
对于稠密的集合，最小上界性和连续性是等价的。
这时我又想到了一个严肃的问题：有最小上界性的集合不一定连续，但是为什么直觉告诉我所有连续的集合都有最小上界性？如果能证明连续的集合都是稠密的，那么就能证明我的直觉是对的了！
事实表明这个并不难证。还是用我最喜欢的反证大法~
如果一个有序的集合S并不稠密，那么存在两个不同的元素a和b，使得a＜b且不存在任何a和b之间的元素。我们令A1为包含所有S中小于等于a的元素，而A2包含S中所有其他元素。显然A2包含的就是那些大于等于b的元素。所以切割（A1，A2）由a和b两个元素产生，不满足[C]，即集合S是不连续的。
因此，连续的集合一定稠密。连续性和稠密性又一起保证了这个集合的最小上界性。
胡扯
最后注明一点，我们整篇文章讨论的集合都是有序集。一个有序集S中的任意两个不同的元素可以由一个叫做小于（＜）的关系连接起来，这个关系满足对任何a,b,c∈S有：
[传递性]如果a<b,且b<c，那么a<c；
[三歧性]下列三种情况有且只有一种成立：a<b,a=b,b<a。
实数是有序域，也就是说它不仅有序而且可以加减乘除。但是我们对最小上界性和连续性的讨论，不需要用到实数加减乘除的性质，对所有的有序集都生效。
然后我又看了一下Dedekind的《连续性和无理数》，发现他在讲到实数的加减乘除的性质之前，提到的实数的几个重要性质，正是现在说的传递性、稠密性、三歧性和大boss连续性！以前一直不理解为什么不提别的性质，一定要选这几个，现在终于理解了，所以数学家的洞察力（insight）还是不容小视；感觉是随意地写出的几句不用说大家也知道的话，其实是经过深思熟虑的。
有图有真相~
因此，我深刻地感受到了防火防盗防数分的重要性……一不小心就被碾压智商……
但这也正好说明数分很好玩啊！：D