关于数分。
每次被问起数学分析到底是什么，我的回答都是“一种高级的微积分啦！”其实我的意思是：“一种低级的微积分啦！”
事实上，到这个学期结束，我们还不会学到微分和积分。
但是正是这样一门看上去不能更水的课，对逻辑的严谨性要求却相当高。当我们发现不管多么显然，我们都必须一步步完成对负负得正的证明、对根号2的存在性的证明、对有限的东西的一部分仍有限的证明的时候，我们也就明确地知道了自己大脑里的预装系统——那些直觉，那些我们认为不正确就没天理的东西，确实是有天理的。
因此从我作为跨系蹭课生的外行视角来看，学数学首先是培养一种直觉——把字面上对定理和证明的承认转化为一种自己可以理解的直观印象的能力，（从承认”Es ist” “It is”变成”Es muss sein.””It must be.”）；其次是培养结构性思维和表达的严谨性，也就是把自己的直觉感受到的东西灵活地转化为数学语言——也就是严格建立在公理系统上的逻辑推导的能力。
下面我想讨论的东西，虽然只涉及我最近产生的对实数构造的新理解，但是希望能以此为案例，从中挖掘出一些数学教学中对以上两种能力的培养的见解。
【一个切割，各自表述】
对实数的构造是我半年来一直很感兴趣的话题，主要原因是本人愚钝，并不能一下子透彻理解其中的精髓，导致长期处于纠结状态；另外一个重要的原因就是Dedekind对实数的构造给我的最原始的第一印象就是绝对的简单和美妙，而且这种印象几乎在我的眼睛扫过那些句子，还没有怎么思考的时候就直接产生了。我们对连续的事物的直觉，竟然可以用一个如此简单的性质准确地描述出来，并由此严谨定义了实数，建立了微积分的坚实基础，在我看来是一个伟大成就，任何数分课程都不可能不提。（有关Dedekind对连续性的定义，详见我的《胡扯连续性》。本文主要关注第二部分，也就是对实数的构造。）
这学期的数分课程，MA2108，不出意料地提到了Dedekind切割。但是我们课堂上给出的对它的定义，是直接取自Rudin的《数学分析原理》。这个定义给我的第一印象是，这真的是我熟悉的那个Dedekind切割？居然变得这么高级我都不认识它了！（此处有\笑抽的表情）
我们看一下Rudin的对Dedekind切割（也就是实数）的定义：
一个Dedekind切割是一个有理数的集合α，它满足以下性质：
（Rii）如果x∈α，且有理数y＜x，那么y∈α.
（Riii）如果x∈α，那么存在z∈α，使得z＞x.
这个定义留给读者几个艰难而严肃的问题：为什么α是一个切割？为什么实数是有理数的集合？为什么符合这三条就是实数？
面临这些问题时，我不得不表示幸亏我看过Dedekind的《连续性和无理数》原文，知道他最初创造他的切割这个概念时，并不是这样表述的。我们现在可以看一下Dedekind原文中的定义：
（D）如果所有的有理数被分为两组（A1,A2），使得A1中任意一个数都比A2中的任意一个数小，那么这个对有理数的划分（A1,A2）被称为一个切割……我们可以将（A1,A2）简写为α，每一个切割都是一个实数.
例如如果我们让A1包含所有负有理数，0，和平方小于2的正有理数，A2包含所有其他有理数，那么显然A2中的任意数都比A1中的所有数大。所以（A1,A2）是一个切割，它其实就是实数√2.
这里“切割”的直观印象就很明显了.Rudin的定义只是把上述内容用集合论的语言抽象化了。下面我们证明Rudin定义中的（Ri）（Rii）两条合起来，便与Dedekind的定义等价.
首先证明对于一个Rudin定义的α，如果令A1=α，A2=Q\α(即α之外的有理数)，那么（A1,A2）满足Dedekind定义的切割（D）.
其次我们证明对于一个按Dedekind的方法定义出的切割(A1,A2),如果令α=A1,那么α满足Rudin的(Ri),(Rii).
要证明（Ri），我们注意到从奇怪的历史学家的角度看，当时是1872年，系统的集合论还没有诞生，在此背景下Dedekind默认不考虑空集的存在(这一点在他后来的作品《数是神马》中有明确表述)，所以A1，A2都至少含有一个元素.A1=α≠∅;同时A2=Q\α≠∅，因此α不等于Q。（Ri）成立.
要证明（Rii）成立，我们令x∈α,如果y<x,假设y∉α，那么y就属于α的补集A2，而A2中任意数大于A1中的任意数，这与y＜x矛盾.所以假设错误，y∈α。
至此，我们证明了（在Dedekind不考虑空集的情况下）(Ri)(Rii)与(D)等价.
Rudin在此基础上增加了(Riii)，即α中没有最大的有理数.这其实是一个细节上的优化.
根据Dedekind的定义，每个有理数r都可以产生两个切割，第一个让A1含有所有小于r的有理数,A2含有所有大于等于r的有理数，第二个让A1含有所有小于等于r的有理数，A2含有所有大于r的有理数。也就是说，当划分有理数的刀刃正好落在一个有理数上时，这个有理数既可以被踢到A1去，也可以被踢到A2去。这两个切割并没有本质的区别，因为”切口”的位置是相同的,它们对应的是同一个实数r.Dedekind写了长长一段来说明这一点.
这始终让人感觉不舒服——我们希望实数和切割一一对应。
[*Dedekind对一个数x“产生”一个切割（A1,A2）的定义为，x要么是A1中最大的数,要么是A2中最小的数.]
现在我们就可以回答初次看到Rudin的定义时很让人困惑的问题。
为什么α是一个切割？其实α本身不是切割，它对应的是Dedekind定义中的A1。简单地理解，如果我们把有理数排列在数轴上，然后给数轴切一刀，可以认为α是切完了以后刀口左边那些有理数。由于一个切口的位置完全可以由切完以后左边那部分唯一确定，所以Rudin认为引入A1已经足够，A2留给读者脑补即可。
为什么实数（居然）是有理数的集合？其实自从Cantor发威后，数学界一切都是集合。但是我们每个人都是先从直觉上理解实数是什么的——实数就是有理数加上有理数之间的缝隙。而Dedekind通过对有理数的切割，把那些缝隙严谨地描述出来。我倾向于认为他在写《连续性和无理数》时，完全是把实数当成“有理数+缝隙”，也就是数轴上很小的切口来看待的，并没有想到要把它定义成有理数的集合。然而正如上一段所说，一个切口的位置可以由切完后左边那部分唯一确定，而左边那部分是有理数的集合，所以不如把所有的切口都说成是左边的那个集合，这样符合后Cantor时代的数学规范，而且不用引入A2了。【Rudin相信读者的脑补能力……】
为什么符合这三条的就是实数？这是一个相当好的问题。怎么才能证明这些Rudin的α，这些Dedekind的（A1，A2），就是我们大脑里那个熟悉的实数呢？要回答这个问题，我们首先必须认真地想一下，“我们熟悉的实数”到底是什么，它有哪些性质。
实数可以进行正常的加减乘除，可以比较大小，而且是连续的，没有缝隙。用神奇的数学家的术语说，就是域的性质、序的性质和连续性。任何一个系统，有了这三个性质，都可以叫实数。（所以直线和无限小数都能表现实数）接下来要进行的漫长的任务，就是证明这些切割具有这三种性质。由于这个系列叫胡扯连续性，我大概只会关注连续性了，但是由于时间仓促，我将把对实数连续性的证明的讨论踢到下一篇日志。那时我们将继续对比Rudin和Dedekind的表述的各自的优劣.
【继续胡扯】
在此我好像说了太多的废话.这篇文章应该对数学专业的同学意义有限.如果大家只是想学数学,切记千万不要听我胡扯,直接看Rudin就好.我也不是唯恐天下不乱故意把Dedekind和Rudin对切割的表述拿出来对比的.我只是想通过同一个数学概念隔着一百年的两种不同的表述,说明我目前认为的数学发展的一条必经之路.Dedekind切割最初的定义带有非常强的直观性,让人一看就知道它想表达什么东西,但随着时间的延续变成了以集合为基本语言的非常抽象、简洁而系统化的表达,因为这样可以省去没有必要的概念（比如A2），摆脱具象思维的束缚，方便证明其他很多不是那么显然的定理（如果人们搞数学分析的时候要随时随地想着一根直线，得到的成果将会少很多）.但是话说回来，很多数学上的新发现，首先来自具象的直觉，抛弃了直觉的数学是死的，如同很精美的骨骼到底还是不能动。如果我只是字面上理解（Ri）（Rii）（Riii），用它们来做很多题，也不是不可以，但是完全不会有了解Dedekind最初的构思时产生的美感.
个人感觉现在以Rudin为导向的数学教学更注重后者，也就是结构性思维。这样确实很好（因为很多直觉都不能用两三句话严谨地说出来，如果为了直观舍弃严谨那不如不说），但是也造成了学习难度的大大增加.这时候就要求我们充分发挥主观能动性，在那些抽象的语言中脑补出可以帮助我们理解定理的鲜明形象，发掘属于自己的活着的数学.