In an English module that I take this semester we are required to write an essay on any controversial topic in science. The topic I proposed was ‘Is mathematics discovery or invention?’. Such an idle and philosophical question seems immediately radical in a world where…

    【重启胡扯状态】 关于数分。 每次被问起数学分析到底是什么，我的回答都是“一种高级的微积分啦！”其实我的意思是：“一种低级的微积分啦！” 事实上，到这个学期结束，我们还不会学到微分和积分。 但是正是这样一门看上去不能更水的课，对逻辑的严谨性要求却相当高。当我们发现不管多么显然，我们都必须一步步完成对负负得正的证明、对根号2的存在性的证明、对有限的东西的一部分仍有限的证明的时候，我们也就明确地知道了自己大脑里的预装系统——那些直觉，那些我们认为不正确就没天理的东西，确实是有天理的。 因此从我作为跨系蹭课生的外行视角来看，学数学首先是培养一种直觉——把字面上对定理和证明的承认转化为一种自己可以理解的直观印象的能力，（从承认”Es ist” “It is”变成”Es muss sein.””It must be.”）；其次是培养结构性思维和表达的严谨性，也就是把自己的直觉感受到的东西灵活地转化为数学语言——也就是严格建立在公理系统上的逻辑推导的能力。 下面我想讨论的东西，虽然只涉及我最近产生的对实数构造的新理解，但是希望能以此为案例，从中挖掘出一些数学教学中对以上两种能力的培养的见解。 【一个切割，各自表述】 对实数的构造是我半年来一直很感兴趣的话题，主要原因是本人愚钝，并不能一下子透彻理解其中的精髓，导致长期处于纠结状态；另外一个重要的原因就是Dedekind对实数的构造给我的最原始的第一印象就是绝对的简单和美妙，而且这种印象几乎在我的眼睛扫过那些句子，还没有怎么思考的时候就直接产生了。我们对连续的事物的直觉，竟然可以用一个如此简单的性质准确地描述出来，并由此严谨定义了实数，建立了微积分的坚实基础，在我看来是一个伟大成就，任何数分课程都不可能不提。（有关Dedekind对连续性的定义，详见我的《胡扯连续性》。本文主要关注第二部分，也就是对实数的构造。） 这学期的数分课程，MA2108，不出意料地提到了Dedekind切割。但是我们课堂上给出的对它的定义，是直接取自Rudin的《数学分析原理》。这个定义给我的第一印象是，这真的是我熟悉的那个Dedekind切割？居然变得这么高级我都不认识它了！（此处有\笑抽的表情） 我们看一下Rudin的对Dedekind切割（也就是实数）的定义： 一个Dedekind切割是一个有理数的集合α，它满足以下性质：     （Ri） ∅≠α≠Q 【α不是空集，也不是整个有理数集。】 （Rii）如果x∈α，且有理数y＜x，那么y∈α. （Riii）如果x∈α，那么存在z∈α，使得z＞x. 这个定义留给读者几个艰难而严肃的问题：为什么α是一个切割？为什么实数是有理数的集合？为什么符合这三条就是实数？ 面临这些问题时，我不得不表示幸亏我看过Dedekind的《连续性和无理数》原文，知道他最初创造他的切割这个概念时，并不是这样表述的。我们现在可以看一下Dedekind原文中的定义： （D）如果所有的有理数被分为两组（A1,A2），使得A1中任意一个数都比A2中的任意一个数小，那么这个对有理数的划分（A1,A2）被称为一个切割……我们可以将（A1,A2）简写为α，每一个切割都是一个实数. 例如如果我们让A1包含所有负有理数，0，和平方小于2的正有理数，A2包含所有其他有理数，那么显然A2中的任意数都比A1中的所有数大。所以（A1,A2）是一个切割，它其实就是实数√2. 这里“切割”的直观印象就很明显了.Rudin的定义只是把上述内容用集合论的语言抽象化了。下面我们证明Rudin定义中的（Ri）（Rii）两条合起来，便与Dedekind的定义等价. 首先证明对于一个Rudin定义的α，如果令A1=α，A2=Q\α(即α之外的有理数)，那么（A1,A2）满足Dedekind定义的切割（D）.      根据（Ri），∅≠α≠Q，所以A1，A2都不是空集.根据(Rii)，对任意的x∈A1，y∈A2，假设y≤x，那么y一定属于A1。但y∈A2表明了y∉A1,所以假设不成立，y>x.      因此我们得到了一个Dedekind定义的划分—A2中任意一个数大于A1中任意一个数. 其次我们证明对于一个按Dedekind的方法定义出的切割(A1,A2),如果令α=A1,那么α满足Rudin的(Ri),(Rii). 要证明（Ri），我们注意到从奇怪的历史学家的角度看，当时是1872年，系统的集合论还没有诞生，在此背景下Dedekind默认不考虑空集的存在(这一点在他后来的作品《数是神马》中有明确表述)，所以A1，A2都至少含有一个元素.A1=α≠∅;同时A2=Q\α≠∅，因此α不等于Q。（Ri）成立. 要证明（Rii）成立，我们令x∈α,如果y<x,假设y∉α，那么y就属于α的补集A2，而A2中任意数大于A1中的任意数，这与y＜x矛盾.所以假设错误，y∈α。 至此，我们证明了（在Dedekind不考虑空集的情况下）(Ri)(Rii)与(D)等价. Rudin在此基础上增加了(Riii)，即α中没有最大的有理数.这其实是一个细节上的优化. 根据Dedekind的定义，每个有理数r都可以产生两个切割，第一个让A1含有所有小于r的有理数,A2含有所有大于等于r的有理数，第二个让A1含有所有小于等于r的有理数，A2含有所有大于r的有理数。也就是说，当划分有理数的刀刃正好落在一个有理数上时，这个有理数既可以被踢到A1去，也可以被踢到A2去。这两个切割并没有本质的区别，因为”切口”的位置是相同的,它们对应的是同一个实数r.Dedekind写了长长一段来说明这一点. 这始终让人感觉不舒服——我们希望实数和切割一一对应。…

简单的胡扯  记得高中一本教辅讲到空间几何时，第一句话就是：“直线是不加定义的直观概念……” 此话说得不好。作为空间几何的基础的直线确实可以不加定义，我们只要默认这个东西存在，并给出它的一些性质即可。我们现在的数学分析课就是这么处理实数的。但是如果不加定义，就不可以说它是直观的——因为我们直觉中的那条直线需要好好地定义，它除了空间几何给出的那些默认的性质，还有连续性。 其实连续性不是一个很容易掌握的东西，我都对自己半年来一直纠结之感到烦躁无比（duang~）。但是每次想这个问题居然都有新发现，也是对自己虽然愚钝却坚持不懈的最好证明。 最小上界性……和连续性 我们的数分教授在第一节课问我们实数是什么，我当时虽然有点概念，但觉得表达不清楚——我不可能用一篇文章来回答一个课堂小问题吧！后来经过一个月左右的不懈学习，一个简洁明了的答案终于清晰起来：实数是具有最小上界性的有序域。 其中“有序”说的是实数可以比大小。“域”说的是实数可以加减乘除。“最小上界性”是什么呢？ 首先一个实数集S的“上界”指的是一个实数a，它大于等于S中的任何实数。实数具有最小上界性(Least Upper Bound Property)，说的是 [L]任何一个实数集S，只要它有上界，那么一定有最小的上界。 直觉告诉我，这个“最小上界性”就是连续性。有理数也是有序域，但它是不连续的有序域。一定是最小上界性保证了实数集是连续的。但是当时，我所知道的连续性，看上去和最小上界性一点关系也没有！我记得Dedekind是这样定义连续性(Continuity)的： [C]如果所有的实数被切成了两部分(A1,A2)，使得A1中的任意数小于A2中的任意数，那么有且只有一个实数α产生这个切割。(“产生”的意思是,存在唯一的实数α，它要么是A1中最大的数，要么是A2中最小的数。） 这两个定义真的有什么关系吗？ 直觉告诉我要证明它们是等价的。于是几天前（3月7号）我写下这样一个证明。 [C]→[L] 对于任意一个有上界的实数集S，我们将A2定义为所有S的上界的集合，而将A1定义为所有其他实数。那么对于A1中的任意实数a1，由于它不是S的上界，所以存在x∈S，使得x>a1.然而对于A2中的任意实数a2,由于它是S的上界,所以一定有a2≥x>a1.因此我们确实得到了一个切割(A1,A2),使得A1中的任意数小于A2中的任意数.根据[C],要么A1中存在最大的数α,要么A2中存在最小的数α,两者必居其一且仅居其一. 但是对A1中的任意数a1，都存在x∈S，使得x>a1.那么存在实数a1‘,使得a1<a1′<x，比如最简单的可以让a1’=(x+a1)/2.我们发现a1‘仍然属于A1(因为它不是S的上界),但是比a1大.所以A1中没有最大值.因此A2中存在最小值α.   因为A2是所有S上界的集合,所以S有一个最小上界α. [L]→[C] 如果所有的实数被切成了两部分(A1,A2)，使得A1中的任意数小于A2中的任意数,那么A1是一个有上界的实数集,因为A2中的所有数都是A1的上界.根据[L],A1有一个最小上界α.如果α∈A1,那么因为α是A1的上界,对任意a1∈A1,α≥a1,所以α是A1中的最大值.如果α∉A1,那么α属于A2,即它是A1的上界,但由于α是A1的最小上界,所以k是A2中的最小值.因此,存在唯一的实数α产生切割(A1,A2). [PS.下面会讲到这个证明有疏漏……] 证明完毕~ 写到这里的时候我便很开心地分析它们的异同了!我认为最小上界性和连续性既然是等价的,那么它们的区别仅在于表述上了。[C]相当于我们对连续性的最直观的感受，而[L]更抽象一点，仅此而已。 当时我想写几个例子说明[C]很直观，自然提到了整数集为什么不连续——考虑一个对所有整数的划分（A1,A2），使得A1中所有数小于A2中所有数，显然A1中有最大值，A2中有最小值，且两者不相等。这就不满足“有且只有一个数产生这个切割”。但是，这时我突然想到，整数集是有最小上界性的！——任何一个整数集，只要有上界，一定有最小上界。这个可以证明，但由于不是本文重点，在此省去。 重点是，最小上界性和连续性不是等价的——我的证明一定有问题。 我首先想到，前面关于两者的等价性的讨论都局限在实数集这个大前提下。当我试图概括地说，最小上界性和连续性区别只在于表述的时候，其实把等价性成立的范围扩大到所有集合了，所以出现了问题。所以我刚才的证明一定用到了一些实数有而整数没有的性质。 回顾刚才对[C]→[L]的证明，其中写道：“存在实数a1‘,使得a1<a1′<x”。我在这里不经意间用到了一条性质——实数的稠密性（density）： [D]对于任意两个不同的实数a和b，如果a<b，那么存在实数c，使得a<c<b。 整数显然不具有这个性质。 但是奇怪的是，整数有最小上界性而没有连续性，应该说明[L]→[C]，而不是[C]→[L]，需要一些实数有而整数没有的性质.但是我对[L]→[C]的证明没有用到稠密性或者其他整数没有的性质啊！又是一番艰苦的排查，我发现我的[L]→[C]的推导存在一个比较严重的疏漏。我只证明了一定存在的那个最小上界α，要么是A1的最大值，要么是A2的最小值，也就是说，我证明了存在一个产生切割（A1，A2）的实数，但是我没有证明它的唯一性。事实上，如果我们研究的集合不是稠密的，那么就不一定只存在一个了，整数集便是一个例子。我当时证明的时候，误认为最小上界的唯一性直接表明了产生切割的数的唯一性，从而在此造成疏忽。 我们需要利用实数的稠密性，补上如下一段，证明最多只有一个实数可以产生这样的切割。 [L]→[C][补充] 如果有两个不同的实数α，β产生同一个切割（A1，A2），不妨设α＜β。那么只可能α是A1中的最大值，且β是A2中的最小值（因为如果它们同时属于A1或A2，则不可能同时是它的最大值或最小值）。但是由于实数的稠密性，存在实数γ，使得α＜γ＜β。如果γ∈A1，那么α将不是A1中的最大值，如果γ∈A2，则β将不是A2的最小值，无论如何都与假设有矛盾。所以最多存在一个实数产生切割（A1，A2）。 至此我们就可以说 对于稠密的集合，最小上界性和连续性是等价的。 这时我又想到了一个严肃的问题：有最小上界性的集合不一定连续，但是为什么直觉告诉我所有连续的集合都有最小上界性？如果能证明连续的集合都是稠密的，那么就能证明我的直觉是对的了！ 事实表明这个并不难证。还是用我最喜欢的反证大法~ 如果一个有序的集合S并不稠密，那么存在两个不同的元素a和b，使得a＜b且不存在任何a和b之间的元素。我们令A1为包含所有S中小于等于a的元素，而A2包含S中所有其他元素。显然A2包含的就是那些大于等于b的元素。所以切割（A1，A2）由a和b两个元素产生，不满足[C]，即集合S是不连续的。 因此，连续的集合一定稠密。连续性和稠密性又一起保证了这个集合的最小上界性。 胡扯 最后注明一点，我们整篇文章讨论的集合都是有序集。一个有序集S中的任意两个不同的元素可以由一个叫做小于（＜）的关系连接起来，这个关系满足对任何a,b,c∈S有： [传递性]如果a<b,且b<c，那么a<c；…